Pendahuluan Materi Lengap Matematika Dasar
Dalam Matematika Dasar terdapat konsep dari himpunan obyek-obyek,
khususnya tentang konsep himpunan dari bilangan-bilangan yang banyak sekali
diterapkan untuk matematika lebih lanjut maupun penerapan di bidang-bidang
yang lain. Himpunan bilangan yang penting untuk diketahui adalah himpunan
bilangan Asli, himpunan bilangan Cacah, himpunan bilangan Bulat, himpunan
bilangan Rasional, himpunan bilangan Irrasional (tak terukur), dan himpunan
bilangan Real. Sifat-sifat dari bilangan ini akan digunakan dalam Bentuk Pangkat,
Penarikan Akar, dan Logaritma.
Diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep himpunan bilangan yang
penting untuk diketahui dan mampu menggunakan sifat-sifat dari himpunan
bilangan diantaranya yaitu Bentuk Pangkat, Penarikan Akar, dan Logaritma.
B. Himpunan Bilangan
Konsep dari himpunan obyek-obyek yang paling penting dipelajari untuk
matematika lebih lanjut adalah konsep dari himpunan bilangan-bilangan. Beberapa
konsep dari himpunan bilangan-bilangan tersebut diantaranya adalah himpunan
bilangan Asli, himpunan bilangan Cacah, himpunan bilangan Bulat, himpunan
bilangan Rasional, himpunan bilangan Irrasional (tak terukur), dan himpunan
bilangan Real.
1. Himpunan bilangan Asli atau disebut juga himpunan bilangan bulat positif dapat
ditulis sebagai : N
2. Himpunan bilangan Cacah ditulis : W
3. Himpunan bilangan Bulat ditulis : I -3, - 2, -
4. Himpunan bilangan Rasional / Terukur ditulis :
, a,b I, b 0
b
Q x x a yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
hasil bagi antara dua bilangan bulat (pecahan) dengan syarat bahwa nilai
penyebut tidak sama dengan nol, contoh :
7
, 5
5
, 3
4
, 1
2
1
dan sebagainya.
5
Dengan demikian bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam
bentuk pecahan
b
a
dengan a dan b bilangan bulat dan b 0 . Adapun
himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat, bilangan pecahan murni,
dan bilangan pecahan desimal.
5. Himpunan bilangan Irrasional (tak terukur) ditulis : Q' x x Q yaitu
bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antara dua bilangan
bulat (pecahan), tapi dapat dinyatakan dengan bilangan desimal tak tentu atau
2
sebagainya.
6. Himpunan bilangan Real (nyata) ditulis : R x x bilangan Real . Bilangan
rasional dan Irrasional merupakan himpunan bilangan real.
Dengan demikian, himpunan bilangan Asli adalah subset dari himpunan
bilangan Cacah. Himpunan bilangan Cacah adalah subset dari himpunan bilangan
Rasional. Sedangkan himpunan bilangan baik Rasional maupun Irrasional disebut
himpunan bilangan Real. Himpunan bilangan yang tidak Real adalah himpunan
bilangan Imaginer ataupun himpunan bilangan Kompleks. Himpunan-himpunan
bilangan di atas dapat ditulis dalam bentuk subset sebagai berikut :
N W I Q R
Sifat Ketidaksamaan Bilangan Real
a. Sembarang bilangan Real a dan b, dapat terjadi salah satu dari tiga hal yaitu : a <
b, b < a, atau a = b.
b. Jika a < b dan b < c maka a < c .
c. Jika a < b, maka a + c < b + c untuk sembarang nilai c.
d. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc.
e. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc.
Sistem bilangan Real dibentuk atas dasar sistem bilangan Asli, di mana semua
sifat-sifatnya dapat diturunkan. Jika x, y, dan z adalah bilangan Real maka sifat-sifat
bilangan Real adalah :
a. Sifat komutatif untuk penjumlahan
x + y = y + x
6
b. Sifat komutatif untuk perkalian
x.y = y.x
c. Sifat assosiatif untuk penjumlahan
x + (y + z) = (x + y) + z
d. Sifat assosiatif untuk perkalian
x (yz) = (xy) z
e. Sifat distributif
x (y + z) = xy + xz
f. Jika x dan y dua bilangan Real, maka terdapat suatu bilangan Real z sehingga x +
z = y. Bilangan z ini kita nyatakan dengan y x dan disebut selisih dari y dan x.
Selisih x x kita nyatakan dengan simbol 0. Simbol 0 ini selanjutnya disebut nol.
g. Terdapat paling sedikit satu bilangan real x x dan y dua bilangan Real
dengan x z demikian sehingga x.z = y.
Bilangan z ini kita nyatakan dengan
x
y
dan disebut hasil bagi dari y dan x. Hasil
bagi x dan x dinyatakan dengan simbol 1, yang selanjutnya disebut satu dan
tidak bergantung pada x.
C. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
1. Bentuk Pangkat Bulat
Definisi
Fungsi notasi pangkat salah satunya adalah untuk menyederhanakan penulisan
atau meringkas penulisan. Contoh, 10.000.000,- dapat ditulis dengan notasi
pangkat 107. Notasi pangkat dapat menghemat tempat, sehingga notasi pangkat
banyak digunakan dalam perumusan dan penyederhanakan perhitungan.
Pangkat Bulat Positif
Perkalian berulang dari suatu bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan
berpangkat bilangan bulat positif.
Contoh:
2 = 21
2 . 2 = 22
2 . 2 . 2 = 23
2 . 2 . 2 . 2 = 24
7
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26
Bentuk 26 6 disebut bilangan berpangkat bulat
positif. Bilangan 2 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar dan bilangan 6
yang ditulis agak di atas disebut pangkat atau eksponen. Secara umum bilangan
berpangkat dapat ditulis :
Jika a bilangan real atau dan n bilangan bulat positif, maka
an
a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.
Contoh 1.1
1. 32 = 3 . 3 = 9
2. 64 = 4 . 4 . 4 = 43
3. 648 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 = 23 . 34
4.
4
3
2
3
. 2
3
. 2
3
. 2
3
2
Contoh 1.2
Tentukan nilai dari persamaan berikut untuk nilai variabel yang ditentukan.
1. x3 2x2 3x 4 untuk x = 2
2 3 2 2 2 3 2 4 8 8 6 4 26
2. 3x3 2x2 y 3xy2 4y3 untuk x = - 1 dan y = 2
3 1 3 2 1 2 2 3 1 2 2 4 2 3 3 4 12 32 21
Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Pada bilangan berpangkat bulat positif dapat dilakukan beberapa operasi aljabar
seperti : perkalian, pemangkatan, dan pembagian untuk bilangan berpangkat
bulat positif. Perhatikan teorema-teorema untuk bentuk perkalian,
pemangkatan, dan pembagian dari bilangan berpangkat bulat positif berikut:
a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat postitif maka
a p . aq a p q
b. Jika dan 0, p dan q bilangan bulat positif maka
8
p q
q p
a
a p q
a
a a a q p
p q
q
p
p q
1 ; jika
1 ; jika
; jika
:
c. Jika a bilangan real, p dan q bilangan bulat positif maka
a p q a p. q a pq
d. Jika a dan b bilangan real, p bilangan bulat maka
ab p a p b p
Contoh 1.3
Sederhanakan :
1. 23 . 24 = 23+4 = 27
2. x2 . x6 = x2+6 = x8
3. 2x 3 y 3x 2 y 3 2( 3)x 3 2 y1 3 6x5 y 4
Contoh 1.4
Kalikanlah 2x 2 y 3xy2 dengan 4x3 y2 .
Penyelesaian
5 3 4 4
2 2 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2
8 12
2 3 4 2( 4) 3( 4)
x y x y
x y xy x y x y x y
Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Jika pada bentuk perpangkatan pangkat dari bilangan dasar kurang dari satu dan
nol maka akan diperoleh pangkat bilangan bulat negatif dan nol.
Contoh 1.5
3-1 ; 3-2 ; 3-3 ; 3-4 ; 3-5 ; dan 30
a-1 ; a-2 ; a-3 ; a-4 ; a-5 a-n ; dan a0
Untuk mendefinisikan an dengan a bilangan real dan n bilangan bulat negarif dan
nol, maka dapat digunakan teorema-teorema perpangkatan pada bilangan bulat
positif, seperti :
1 n
n
a
a . Jika teorema p q
q
p
a
a
a digunakan maka akan diperoleh
a a0 1
a
a n n
n
n
dan untuk q = p + n maka diperoleh
p p n n
p n
p
q
p
a a
a
a
a
a ( ) .
9
Dengan demikian maka terdapat teorema berikut,
Jika 0, a bilangan real dan n bilangan bulat positif maka
n
n
a
a 1 dan a0 = 1.
2. Bentuk Akar
menyatakan akar
pangkat dua yaitu merupakan kebalikan dari kuadrat. Pernyataan yang ditulis
dengan tanda akar disebut bentuk akar.
Contoh 1.6
1. Karena 52 = 25 maka 25 5
2. Karena 82 = 64 maka 64 8
Contoh 1.7
Bentuk-bentuk berikut merupakan contoh bentuk akar :
2, 3, 5, 21 dan sebagainya.
Operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
dapat juga dilakukan terhadap bentuk akar. Operasi tersebut digunakan untuk
merasionalkan penyebut yang dinyatakan dalam bentuk akar. Operasi-operasi
aljabar tersebut adalah sebagai berikut :
a. a x b x a b x
b. a x b x a b x
c. a . b ab
d. a a aa a a 2 a
2
. 2
e.
b
a : b a
f.
cd
ab
c d
a b
Contoh 1.8
Sederhanakanlah.
1. 3 2 4 2 (3 4) 2 7 2
2. 8 32 2 2 4 2 (2 4) 2 6 2
10
3. 32 . 8 32.8 256 16
4. 4 2
8
32 : 8 32
5. 25 5
2
50
2
50
2
5.10
2
5. 10
Merasionalkan Pecahan Bentuk Akar
Suatu pecahan yang penyebutnya mengandung bentuk akar dapat
disederhanakan bentuknya dengan cara merasionalkan bentuk akar yang ada
pada penyebutnya. Untuk merasionalkan bentuk pecahan dari penyebut
tersebut maka pembilang dan penyebut harus dikalikan dengan bentuk rasional
dari bentuk akar yang ada pada penyebutnya. Di bawah ini bentuk-bentuk
rumusan untuk penyederhanaan pecahan yang mengandung bentuk akar :
No comments:
Post a Comment